群论学习1
在数学和抽象代数中，群论（英语：Group theory）研究名为群的代数结构。
群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和向量空间等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。线性代数群和李群作为群论的分支，在经历了重大的发展之后，已经形成相对独立的研究领域。
群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。
群论中的重要结果，有限单群分类是20世纪数学最重要的结果之一。该定理的证明是集体努力的结果，它的证明出现在1960年和1980年之间出版的超过10,000页的期刊上。
历史
主条目：群论历史
群论在历史上主要有三个来源：数论，代数方程理论和几何学。数论中出现的对群的研究始于莱昂哈德·欧拉，之后由卡尔·弗里德里希·高斯在对模算术和与二次域相关的乘法和加法的研究中进行了发展。群论的概念在代数数论中首先被隐含地使用，后来才显式地运用它们。
关于置换群的早期结果出现在约瑟夫·拉格朗日、保罗·鲁菲尼和尼尔斯·阿贝尔等人关于高次方程一般解的工作中。1830年，埃瓦里斯特·伽罗瓦第一个用群的观点来确定多项式方程的可解性。伽罗瓦首次使用了术语“群”，并在新生的群的理论与域论之间建立起了联系。这套理论现在被称为伽罗瓦理论。阿瑟·凯莱和奥古斯丁·路易·柯西进一步发展了这些研究，创立了置换群理论。
群论的第三个主要历史渊源来自几何。群论在射影几何中首次显示出它的重要性，并在之后的非欧几何中起到了作用。菲利克斯·克莱因用群论的观点，在不同的几何学（如欧几里德几何、双曲几何、射影几何）之间建立了联系，即爱尔兰根纲领。1884年，索菲斯·李开始研究分析学问题中出现的群（现在称为李群）。
属于不同领域的来源导致了群的不同记法。群的理论从约1880年起开始统一。在那之后，群论的影响一直在扩大，在20世纪早期促进了抽象代数、表示论和其他许多有影响力的子领域的建立。有限单群分类是20世纪中叶一项规模庞大的工作，对一切的有限单群进行了分类。
分类
群论考虑的群的类型从有限置换群和一些特殊的矩阵群逐渐进展到抽象群。这些抽象群可以由生成元和关系给定。
置换群、矩阵群、变换群、抽象群
应用[编辑]
群论在数学上被广泛地运用，通常以自同构群的形式体现某些结构的内部对称性。结构的内部对称性常常和一种不变式性质同时存在。如果在一类操作中存在不变式，那这些操作转换的组合和不变式统称为一个对称群。
在代数拓扑中，群用于描述拓扑空间转换中不变的性质，例如基本群和透射群。
李群的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色，因其结合了群论和分析学，李群能很好的描述分析数学结构中的对称性。对这类群的分析又叫调和分析。
在组合数学中，交换群和群作用常用来简化在某些集合内的元素的计算。
后来群论广泛应用于各个科学领域。凡是有对称性出现的地方，就会有它的影子，例如物理学的超弦理论。
群（group）是一种规定了特殊乘法的集合，在这个运算规则框架下，集合中的元素满足：
| 恒等元 | 存在一个元素运算后不改变零一元素的元素 | 0+a=a |
| 封闭性 | 运算结果任在集合内 | 整数相加还是整数 |
| 逆元素 | 每个元素都存在一个与他运算后等于恒等元的元素 | 整数的相反数 |
| 结合律 | 运算中加括号改变运算优先级不影响结果 | 算数加法乘法满足结合律 |
例如：对称性旋转和翻转（二维）
旋转:C3群
旋转 翻转:D3群、S3群、C^2_6群
$$
C^2_6
$$
特殊：满足交换律的群称为阿贝尔群 G3
实数加法群：实数集合，加法运算。 对应数轴的平移对称性 ，解释时间和空间的原点选择是任意的（纪年起始点）
非零实数乘法群：非零实数，乘法运算。 对应数轴缩放对称性， 解释时间和空间的单位长度选择是任意的（纪年历法长短）
二维以上有：平移、缩放、旋转、改变坐标轴之间夹角这些变换，称为线性变换，对应的群称为矩阵乘法群。